[原创]HDU 2516 取石子游戏 [斐波那契博弈]

Tabris

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发布于：2016年3月6日

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[原创]HDU 2516 取石子游戏 [斐波那契博弈]

2016-03-06 13:57:58 Tabris_ 阅读数：673

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取石子游戏

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3862 Accepted Submission(s): 2307

Problem Description
1 堆石子有 n 个，两人轮流取。先取者第 1 次可以取任意多个，但不能全部取完。以后每次取的石子数不能超过上次取子数的 2 倍。取完者胜。先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

Input
输入有多组。每组第 1 行是 2<=n<2^31. n=0 退出。

Output
先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".
参看 Sample Output.

Sample Input
2
13
10000
0

Sample Output
Second win
Second win
First win

斐波那契博弈这里需要借助“Zeckendorf 定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的 Fibonacci 数之和。

先看看斐波那契数列的必败证明：

1、当 i=2 时，先手只能取 1 颗，显然必败，结论成立。

2、假设当 i<=k 时，结论成立。

则当 i=k+1 时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称 k 堆和 k-1 堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于 f[k-1]，则后手可以直接取完 f[k]，因为 f[k] < 2*f[k-1]）

对于 k-1 堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数 x 的情况。

如果先手第一次取的石子数 y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于 2y，即后手可以直接取完，此时 x=f[k-1]-y，则 x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下 2/3f[k-1]与 1/2f[k]的大小。即 4f[k-1]与 3f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完 k-1 堆后，先手不能一下取完 k 堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于 k 堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即 i=k+1 时，结论依然成立。

对于不是 FIB 数，首先进行分解。

分解的时候，要取尽量大的 Fibonacci 数。

比如分解 85：85 在 55 和 89 之间，于是可以写成 85=55+30，然后继续分解 30,30 在 21 和 34 之间，所以可以写成 30=21+9，

依此类推，最后分解成 85=55+21+8+1。

则我们可以把 n 写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完 f[ap]，即最小的这一堆。由于各个 f 之间不连续，则 a(p-1) > ap + 1，则有 f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取 f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有 f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

齐肯拉夫定理代码实现

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//齐肯多夫定理 代码 实现
int largestFib(int n)
{
    if(n==0||n==1)
        return n;
    int a=0;
    int b=1;
    int c=1;
    while(c<=n)
    {
        a=b;
        b=c;
        c=a+b;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n>0)
    {
        int tempn=largestFib(n);
        cout<<tempn<<" ";
        n=n-tempn;
    }

}

附本题 AC 代码

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# include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
   int a[50];
   __int64 i;
   long long int n;
   while(1)
   {
       cin>>n;
       if(n==1)
       continue;
       if(n==0)
        break;
       a[0]=1;
       a[1]=1;
       for(i=2;i<46;i++)
       {
           a[i]=a[i-1]+a[i-2];
       }
           for(i=0;i<46;i++)
                if(a[i]==n)
           {
               cout<<"Second win"<<endl;
                 break;
           }
           if(i==46)
            cout<<"First win"<<endl;

   }
    return 0;
}

本页文档最后更新于：2021年5月16日

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