[原创]BZOJ 1257: [CQOI2007]余数之和sum [分块]【数学】

Tabris

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发布于：2017年2月13日

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[原创]BZOJ 1257: [CQOI2007]余数之和 sum [分块]【数学】

2017-02-13 22:59:18 Tabris_ 阅读数：268

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题目连接：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1257

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1257: [CQOI2007]余数之和 sum

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Description

给出正整数 n 和 k，计算 j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n 的值，其中 k mod i 表示 k 除以 i 的余数。例如 j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数 n, k。

Output

输出仅一行，即 j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50% 的数据满足：1<=n, k<=1000
100% 的数据满足：1<=n ,k<=10^9
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暴力来看就是 for(int i=1;i<=n;i++) ans += k%i;
对于 i>k 的时候结果都是 0，所以开始是 ans+=(a-b)*b,a=b;

然后就是计算\sum _{i=1}^{k} k\mod i

然后我们可以发现\{\dfrac{k}{i} \big | i\in [1,k]\}的集合中只有\sqrt{k}个元素，测试发现其实应该是 $2\times \sqrt{k}$ 个

对于\dfrac{k}{i}相等的集合中 k\mod i的解是呈等差数列的，所以可以将 for(int i=1;i<=k;i++) ans += k%i; 分成求解\sqrt{k}个等差数列的和，这就是分段

附本题代码
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LL a,b,ans;

void work(){
    ans = 0;
    cin>>a>>b;
    if(a>b) ans +=(a-b)*b,a=b;
    for(int i=1,j;i<=a;i=j+1){
        j=b/(b/i);
        if(j>=a) j=a;
        ans+=(LL)(j-i+1)*b-(LL)(j-i+1)*(i+j)/2*(b/i); //i~j就是一个块 
    }
    cout<<ans<<endl;
}

int main(){
    work();
    return 0;
}

本页文档最后更新于：2021年5月16日

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